Última actualización: 29/04/2016


Curso Académico: 2019/2020

Ecuaciones Diferenciales Estocásticas
(15456)
Titulación: Máster Universitario en Ingeniería Matemática (70)
Escuela de Ingeniería y Ciencias Básicas


Coordinador/a: MOSCOSO CASTRO, MIGUEL ANGEL

Departamento asignado a la asignatura: Departamento de Matemáticas

Tipo: Optativa
Créditos: 6.0 ECTS

Curso:
Cuatrimestre:




Materias que se recomienda haber superado
Algebra Lineal Cálculo Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Probabilidad y Estadística
Competencias que adquiere el estudiante y resultados del aprendizaje.
* Familiarizarse con las herramientas estocásticas básicas en matemáticas. * Comprender los efectos de fluctuaciones y variables no controlables tanto analítica como numéricamente. * Conocer las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferenciales estocásticas. * Conocer y aplicar los modelos estocásticos básicos en tiempo discreto y caracterizar cuando sea posible los correspondientes estados estacionarios. * Conocer la estructura general de los procesos estocásticos y su descripción matemática. * Entender y manejar los conceptos de movimiento aleatorio y proceso de Poisson como ingredientes básicos de los modelos estocásticos. * Conocer y aplicar los modelos básicos en tiempo continuo, en particular los procesos difusivos y su descripción a través de la probabilidad. * Conocer y manejar el cálculo estocástico y entender el concepto de ecuación diferencial estocástica y de su solución. * Familiarizarse con algunas aplicaciones relevantes de las ecuaciones diferenciales estocásticas. * Familiarizarse con las técnicas básicas de tratamiento numérico de los problemas estocásticos.
Descripción de contenidos: Programa
1 Revisión de probabilidad y variables aleatorias. 1.1 Espacios de probabilidad 1.2 Variables aleatorias 1.3 Procesos estocásticos 1.4 Valor esperado, varianza 1.5 Funciones de distribución 1.6 Independencia 1.7 Ley fuerte de los grandes números. Teoría central del límite 1.8 Martingalas 2 Procesos estocásticos en tiempo discreto: 2.1 Introducción 2.2 Procesos Markov. 2.2 Procesos de Renovación. 2.3 Procesos de Ramificación. 2.4 Colas. 3 Procesos estocásticos en general 3.1 Definición de procesos estocásticos 3.2 Trajectorias, propiedad de Markov 4. Aplicaciónes básicas: Movimiento aleatorio. Proceso de Poisson. 4.1 Procesos de movimiento aleatorio 4.2 Proceso de Poisson 5. Procesos difusivos y ecuación de Fokker Planck. 5.1 Definición de procesos difusivos 5.2 Ecuación hacia atrás de Kolmogorov y Ecuación de Fokker-Planck 5.3 Aplicaciones y métodos de solución 6. Cálculo de Ito. 6.1 Integrales estocásticas 6.2 Fórmula de Ito 6.3 Aplicaciones 7. Ecuaciones diferenciales estocásticas. 7.1 Definición y ejemplos 7.2 Existencia y unicidad de las soluciones 7.3 Propiedades de las soluciones 7.4 Soluciones explícitas 7.5 Relación con EDPs de procesos difusivos 7.6 Formula de Feynman-Kac 7.7 Solución de EDPs mediante ecuaciones diferenciales estocásticas 8 Aplicaciones: control estocástico y matemáticas financieras. 8.1 Introducción a la matemática financiera 8.2 El modelo de Black-Scholes 8.3 Derivados: futuros y opciones 8.4 Valoración de derivados: la ecuación de Black-Scholes 8.5 Generalización y limitaciones de la ecuación de Black-Scholes 8.6 Introducción a control estocástico 8.7 Control determinista. La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman 8.8 Control estocástico: La ecuación estocástica de Halmilton-Jacobi-Bellman 8.9 Programación dinámica 8.10 Aplicación: carteras óptimas 9 Métodos numéricos para ecuaciones estocásticas. 9.1 Introducción 9.2 El método de Euler-Maruyama 9.3 Convergencia débil y fuerte de los algoritmos numéricos 9.4 Métodos de orden superior 9.5 Aplicaciones 10 Simulación de Langevin. 10.1 Descripción microscópica de la dinámica de una partícula 10.2 Teorema de fluctuación-disipación 10.3 La ecuación de Langevin sobre-amortiguada 10.4 Equilibrio 10.5 Aproximaciones numéricas a la ecuación de Langevin 10.6 Aplicaciones a sistemas potenciales y no potenciales: difusión de epidemias y el modelo de Ising
Actividades formativas, metodología a utilizar y régimen de tutorías
Las horas lectivas se dedicarán a las siguientes actividades formativas dirigidas: * Clases magistrales/expositivas: Tienen por objetivo alcanzar las competencias específicas cognitivas de la materia. En ellas se presentarán los conocimientos que los alumnos deben adquirir. Para facilitar su desarrollo los alumnos recibirán las notas de clase y tendrán textos básicos de referencia que les permita completar y profundizar en aquellos temas en los cuales estén más interesados. * Clases Prácticas: Son clases de resolución de problemas, prácticas en aula informática o de exposición por parte de los alumnos. Estas clases ayudan a desarrollan las competencias específicas. Adicionalmente, se dedicarán horas a actividades formativas tutorizadas. Estas actividades supervisadas consisten en actividades de enseñanza-aprendizaje tanto de contenido formativo teórico como práctico que, aunque se pueden desarrollar de manera autónoma, requieren la supervisión y seguimiento, más o menos puntual, de un docente. Estas actividades pueden ser, entre otras, las siguientes: tutorías programadas, revisión de trabajos y tutorías de seguimiento. El resto de créditos, se dedican al estudio del alumno de forma autónoma o en grupo sin supervisión del docente. Durante este tiempo el estudiante realiza ejercicios y lecturas complementarias propuestas por el profesor. También realiza lecturas complementarias obtenidas mediante búsqueda bibliográfica entre el material recomendado por el profesor. Durante este tiempo el alumno puede tener acceso a aula informática.
Sistema de evaluación
  • Peso porcentual del Examen Final 60
  • Peso porcentual del resto de la evaluación 40
Bibliografía básica
  • Bernt Oksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th Edition. Springer. 2014
  • Lawrence C. Evans. An Introduction to Stochastic Differential Equations. AMS. 2013

El programa de la asignatura y la planificación semanal podrían sufrir alguna variación por causa de fuerza mayor debidamente justificada o por eventos académicos comunicados con antelación.


Dirección web para más información: http://markov.uc3m.es