Cálculo I Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones en Derivadas Parciales Probabilidad Programación básica

CB6, CB7, CB9, CB10 CG1, CG2, CG3, CG5, CG6 CE1, CE3, CE5, CE6, CE7, CE8, CE9, CE11 Entender los aspectos básicos de la modelización estocástica: modelos en tiempo discreto; descripciones del movimiento aleatorio; movimiento Browniano, modelos de Einstein y Langevin Familiarizarse con los procesos estocásticos en tiempo continuo, particularmente el proceso de Wiener. Entender la motivación y sutilezas tras las definiciones de integrales estocásticas, así como la definición y propiedades de las ecuaciones diferenciales estocásticas Familiarizarse con el cálculo de Itô y su relación con las ecuaciones en derivadas parciales mediante la fórmula de Feynman-Kac Entender y ser capaz de programar los métodos numéricos básicos para ecuaciones diferenciales estocásticas y simulaciones de Langevin, así como la naturaleza de los errores numéricos Conocer las aplicaciones paradigmáticas de las ecuaciones diferenciales estocásticas en finanzas y en biología

Primera parte: introducción al cálculo estocástico 1.1 Repaso de probabilidad; función característica 1.2 Ley de los Grandes Números; Teorema del Límite Central 1.3 Movimiento browniano; modelos de Einstein y Langevin 1.4 Proceso de Wiener e integral estocástica 1.5 Ecuaciones diferenciales estocásticas y cálculo de Itô; ejemplos paradigmáticos 1.6 Método de Euler-Maruyama; convergencia en sentido fuerte y débil 1.7 Fórmula de Feynman-Kac Segunda parte: aplicaciones en biología 2.1 Modelos estocásticos de población 2.2 Modelos estocásticos de epidemias Tercera parte: aplicaciones en finanzas 3.1 Opciones financieras; arbitraje; cobertura 3.2 Ecuación de Black-Scholes; martingalas; probabilidad neutral al riesgo 3.3 Solución analítica; por diferencias finitas; por simulación estocástica 3.4 Volatilidad implícita; modelo de Heston y otros modelos avanzados

Las horas lectivas se dedicarán a las siguientes actividades formativas dirigidas: * Clases magistrales/ expositivas: Tienen por objetivo desarrollar las competencias específicas cognitivas de la materia, que los alumnos deben adquirir. Para facilitar su desarrollo los alumnos recibirán las notas de clase y tendrán textos básicos de referencia que les permitan completar y profundizar en aquellos temas en los cuales estén más interesados. * Clases Prácticas: Son clases de resolución de problemas, prácticas en aula informática o de exposición por parte de los alumnos. Estas clases ayudan a desarrollan las competencias específicas. Adicionalmente, se dedicarán 2 horas a actividades formativas tutorizadas. Estas actividades supervisadas consisten en actividades de enseñanza-aprendizaje tanto de contenido formativo teórico como práctico que, aunque se pueden desarrollar de manera autónoma, requieren la supervisión y seguimiento, más o menos puntual, de un docente. Estas actividades pueden ser, entre otras, las siguientes: tutorías programadas, revisión de trabajos y tutorías de seguimiento. El resto de créditos se dedican al estudio del alumno de forma autónoma o en grupo sin supervisión del docente. Durante este tiempo el estudiante realiza ejercicios y lecturas complementarias propuestas por el profesor. También realiza lecturas complementarias obtenidas mediante búsqueda bibliográfica entre el material recomendado por el profesor. Durante este tiempo el alumno puede tener acceso a aula informática