Última actualización: 01/07/2021


Curso Académico: 2021/2022

Modelización y Análisis No Lineal
(18771)
Titulación: Máster Universitario en Matemática Aplicada y Computacional (372)
Escuela de Ingeniería y Ciencias Básicas


Coordinador/a: CUERNO REJADO, RODOLFO

Departamento asignado a la asignatura: Departamento de Matemáticas

Tipo: Obligatoria
Créditos: 6.0 ECTS

Curso:
Cuatrimestre:




Requisitos (Asignaturas o materias cuyo conocimiento se presupone)
Álgebra Lineal, Cálculo Diferencial e Integral en una y varias variables, Ecuaciones Diferenciales, Probabilidad, Cálculo Numérico, y Programación en algún lenguaje de uso en ciencia e ingeniería.
Objetivos
Se pretende dar una introducción a métodos y ejemplos notables de la modelización matemática basada en ecuaciones diferenciales y en diferencias, tanto determinista como estocástica. Se verá una gran profusión de ejemplos tomados de dominios diversos de las aplicaciones, desde las Ciencias de la Naturaleza (Física, Química, Biología) a la Ingeniería y las Ciencias Sociales. Se hará especial hincapié en comportamientos genéricos debidos al carácter no lineal de los modelos estudiados, tales como el caos determinista, la formación de patrones y otros. Como objetivos más específicos de la asignatura, se pueden destacar: - Adquirir la capacidad de formular un modelo realista en términos de leyes de conservación y constitutivas, que sea consistente dimensionalmente, identificando las constantes dimensionales y cocientes adimensionales que caracterizan al sistema. - Adquirir familiaridad con modelos paradigmáticos en sistemas de la Ciencia, la Ingeniería y la Socioeconomía, formulados en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, o de ecuaciones en diferencias. - Adquirir familiaridad con modelos estocásticos en tiempo discreto o continuo, proporcionados por procesos de Markov notables. - Adquirir un conocimiento de trabajo sobre la teoría cualitativa de sistemas dinámicos. - Tomar contacto con los fenómenos de bifurcación en sistemas dinámicos de baja dimensión y en ecuaciones en derivadas parciales. - Poder identificar y caracterizar comportamiento caótico en sistemas dinámicos deterministas de baja dimensión, tanto discretos como continuos. - Tomar contacto con fenómenos no lineales adicionales en sistemas espacialmente extensos, tales como sistemas de reacción-difusión, propagación de ondas o formación de patrones. Competencias básicas: CB6, CB7, CB8, CB9, CB10 Competencias generales: CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CG6, CG7 Competencias específicas: CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6, CE7, CE8, CE9, C11
Competencias y resultados del aprendizaje
Descripción de contenidos: Programa
1. Introducción a la modelización y el análisls no lineal.. 1.1. Modelización matemática y comportamiento no lineal. 1.2. Análisis dimensional. 2. Sistemas dinámicos. 2.1. Sistemas lineales. 2.2. Plano de fase. 2.3. Bifurcaciones. 3. Caos determinista. 3.1. Fenomenología del caos. 3.2. Iteraciones unidimnensionales. 3.3. Caracterización del caos. 4. Procesos estocásticos en tiempo discreto. 4.1. Cadenas de Markov. 4.2. Procesos de ramificación y de renovación. 5. Procesos estocásticos en tiempo continuo. 5.1. Procesos de Markov: ecuación de Chapman-Kolmogorov. Procesos de salto y de difusión. 5.2. Procesos estacionarios y homogéneos. 6. Sistemas espacialmente extensos: difusión. 6.1. Transporte en sistemas continuos. 6.2. Sistemas de reacción-difusión. 7. Sistemas espacialmente extensos: Propagación de ondas. 7.1. Ecuación de Fisher-Kolmogorov. 7.2. Sistemas excitables. 8. Sistemas espacialmente extensos: Formación de patrones. 8.1. Análisis de estabilidad lineal. 8.2. Comportamiento no lineal: ecuaciones de amplitud.
Actividades formativas, metodología a utilizar y régimen de tutorías
Clases magistrales/expositivas: Tienen por objetivo alcanzar las competencias específicas cognitivas de la materia. En ellas se presentarán los conocimientos que los alumnos deben adquirir. Para facilitar su desarrollo el alumnado recibirá materiales relacionados con las clases (notas, diapositivas) y se le facilitará el acceso a los textos de la bibliografía que permitan completar y profundizar aquellos aspectos en que sea necesario. Clases prácticas: Son clases de resolución de problemas, prácticas en aula informática o de exposición por parte del alumnado. Estas clases ayudan a desarrollan las competencias específicas y se alternarán con las de carácter más expositivo. Se realizarán actividades tutorizadas de enseñanza-aprendizaje, de contenido formativo tanto teórico como práctico que, aunque se pueda desarrollar de manera autónoma, requiera la supervisión y seguimiento, más o menos puntual, de un docente. Estas actividades pueden ser, entre otras, tutorías programadas, revisión de trabajos y tutorías de seguimiento. El resto de las actividades consisten en el estudio de forma autónoma o en grupo sin supervisión del profesorado, durante el cual se realizan ejercicios y lecturas complementarias, existiendo acceso a aulas informáticas.
Sistema de evaluación
  • Peso porcentual del Examen Final 50
  • Peso porcentual del resto de la evaluación 50
Calendario de Evaluación Continua
Bibliografía básica
  • J. D. Murray. Mathematical Biology I. Springer-Verlag . 2002
  • J. D. Murray. Mathematical Biology II. Springer-Verlag . 2003
  • M. Cross and H. Greenside. Pattern Formation and Dynamics in Non-equilibrium Systems. Cambridge University Press . 2009
  • M. Pinsky and S. Karlin. An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press . 2010
  • S. H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books. 2015
Bibliografía complementaria
  • A. Papoulis and S. U. Pillai. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill. 2002
  • C. L. Dym. Principles of Mathematical Modeling. Elsevier. 2004
  • G. Nicolis. Introduction to Nonlinear Science. Cambridge University Press. 1995
  • I. R. Epstein and J. A. Pojman. An Introduction to Nonlinear Chemical Dynamics. Oxford University Press. 1998
  • J. D. Logan. Applied Mathematics. Wiley Interscience. 2006
  • L. Allen. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. CRC Press. 2010
  • M. H. Holmes. Introduction to the Foundations of Applied Mathematics. Science+Business Media, LLC. 2009
  • R. C. Desai and R. Kapral. Dynamics of Self-organized and Self-assembled structures. Cambridge University Press. 2009
  • S. Heinz. Mathematical Modeling. Springer-Verlag. 2011
  • S. L. Miller and D. Childers. Probability and Random Processes. Elsevier. 2012

El programa de la asignatura podría sufrir alguna variación por causa de fuerza mayor debidamente justificada o por eventos académicos comunicados con antelación.