Última actualización: 31/05/2021


Curso Académico: 2021/2022

Técnicas Computacionales para Ecuaciones Diferenciales
(18769)
Titulación: Máster Universitario en Matemática Aplicada y Computacional (372)
Escuela de Ingeniería y Ciencias Básicas


Coordinador/a: BAYONA REVILLA, VICTOR

Departamento asignado a la asignatura: Departamento de Matemáticas

Tipo: Obligatoria
Créditos: 6.0 ECTS

Curso:
Cuatrimestre:




Requisitos (Asignaturas o materias cuyo conocimiento se presupone)
- Métodos básicos de Análisis Numérico. - Conocimientos de Análisis Matemático en una y varias variables. - Conocimientos de Álgebra Lineal. - Conocimientos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales. - Resolución numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Objetivos
Uno de los propósitos de este curso es proporcionar las técnicas básicas para la resolución numérica de EDPs. Para ello, analizaremos y estableceremos las propiedades teóricas de cada método (estabilidad, precisión, complejidad computacional) y demostraremos su funcionamiento con ejemplos que describan sus ventajas e inconvenientes. El objetivo principal es desarrollar el pensamiento algorítmico, haciendo énfasis en los principales conceptos computacionales. De forma más específica, el curso tiene diversos objetivos por parte del alumnado: - Conocer los principales métodos de aproximación numérica de EDPs: método de diferencias finitas; método de elementos finitos; métodos espectrales para problemas periódicos y no periódicos. - Saber analizar las principales características de un determinado método: orden, estabilidad, convergencia. - Saber implementar métodos de resolución de EDPs en una y dos dimensiones. - Tener criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas a resolver, el coste computacional y la presencia de errores. - Ser capaz de programar los algoritmos estudiados en el curso o utilizar algoritmos previamente programados (por ejemplo, en Matlab o Python). CB6, CB7, CB8, CB9, CB10 CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CG6, CG7 CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6, CE8, CE9, CE10, CE11, CE12, CE13
Competencias y resultados del aprendizaje
Descripción de contenidos: Programa
1. Método de diferencias finitas 1.1 Introducción a las aproximaciones en diferencias finitas 1.2 Métodos de diferencias finitas para problemas con condición de frontera 1.3 Métodos de diferencias finitas para ecuaciones elípticas lineales 1.4 Métodos de diferencias finitas para ecuaciones de difusión y problemas parabólicos 1.5 Métodos en diferencias finitas para la ecuación de advección lineal 2. Método de elementos finitos en 1D 2.1 Aproximación polinomial por partes en 1D 2.2 El método de los elementos finitos en 1D 3. Método de elementos finitos en 2D 3.1 Aproximación polinomial por partes en 2D 3.2 El método de los elementos finitos en 2D 4. Métodos espectrales para problemas periódicos 4.1 Matrices de diferenciación 4.2 Mallas infinitas: la transformada de Fourier semi-discreta 4.3 Mallas periódicas: DFT y FFT 4.4 Suavidad y precisión espectral 5. Métodos espectrales para problemas no periódicos 5.1 Interpolación de polinomios y mallas agrupadas 5.2 Matrices de diferenciación de Chebyshev 5.3 Problemas con condición de frontera 5.4 Series de Chebyshev y FFT 5.5 Problemas dependientes del tiempo y regiones de estabilidad
Actividades formativas, metodología a utilizar y régimen de tutorías
En cada capítulo se suministran ejemplos, pruebas, ejercicios y aplicaciones de la teoría discutida. El curso se basa en métodos numéricos bien establecidos. Se espera que los estudiantes sean capaces de escribir sus propios scripts o reescribir los scripts dados por el profesor. Habrá una sesión de teoría y una sesión de resolución de problemas de los ejercicios seleccionados semanalmente. Además de ello, habrá 5 prácticas entregables donde los estudiantes tendrán que implementar los métodos numéricos discutidos en clase. La evaluación continua consistirá en estas 5 prácticas (7% de la nota final cada una) más un examen parcial (25% de la nota final). Se fijará un horario de tutorías (2h semanales) en las que el profesor estará a disposición de los alumnos para resolver dudas.
Sistema de evaluación
  • Peso porcentual del Examen Final 40
  • Peso porcentual del resto de la evaluación 60
Calendario de Evaluación Continua
Bibliografía básica
  • Lloyd N. Trefethen. Spectral Methods in Matlab. SIAM. 2000
  • Mats G. Larson and Fredrik Bengzon. The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications. Springer. 2013
  • Randall J. LeVeque. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. SIAM. 2007
Bibliografía complementaria
  • C. Canuto, A. Quarteroni, M. Y. Hussaini and T. A. Zang. Spectral Methods: Fundamentals in Single Domains. Springer. 2006
  • David Gottlieb and Steven A. Orszag. Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications. SIAM. 1977
  • G. D. Smith. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Clarendon Press. 1985
  • J. W. Thomas. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Springer. 1995
  • Jan S. Hesthaven, Sigal Gottlieb and David Gottlieb. Spectral Methods for Time-Dependent Problems. SIAM. 2007
  • John C. Strikwerda. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. SIAM. 2004
  • Lloyd N. Trefethen. Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations . Cornell University. 1996
  • Mark S. Gockenbach. Partial Differential Equations: Analytical and Numerical Methods. SIAM. 2011
  • Susanne C. Brenner and L. Ridgway Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer. 2008

El programa de la asignatura podría sufrir alguna variación por causa de fuerza mayor debidamente justificada o por eventos académicos comunicados con antelación.