Cálculo I y II, Álgebra Lineal

Este curso proporciona a los estudiantes las herramientas básicas para entender y resolver problemas de valores iniciales y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales por medio de técnicas analíticas. Los estudiantes deberán adquirir una serie de capacidades y conocimientos para lograr esta meta. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE (PO a): - Entender los teoremas básicos sobre existencia y unicidad de soluciones en ecuaciones diferenciales prestando especial atención al concepto de modelo bien planteado. - Entender la importancia de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería aeroespacial. - Entender el empleo de operadores lineales y su relacion con el principio de superposición para resolver ecuaciones diferenciales. - Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias empleando las técnicas habituales. - Entender las técnicas de resolución básicas para abordar los problemas no lineales que pueden aparecer en ecuaciones diferenciales. - Resolver ecuaciones diferenciales por separación de variables y otros métodos. - Distinguir entre ecuaciones en derivadas parciales elípticas, parabólicas e hiperbólicas y saber qué condiciones iniciales o de contorno les corresponden. - Entender cómo aplicar separación de variables y el método de Fourier para resolver los problemas de valores iniciales y de contorno para las ecuaciones de la Física Matemática. - Entender el método de las características y cómo usarlo para resolver ecuaciones lineales y semi-lineales de tipo onda. CAPACIDADES ESPECÍFICAS (PO a,k): - Entender qué es una ecuación diferencial ordinaria y saber cómo aplicar técnicas de existencia y unicidad de soluciones junto con las técnicas de resolución en diferentes contextos. - Entender los problemas iniciales y de contorno asociados a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y las principales técnicas analíticas para resolverlos. - Entender qué es una ecuación en derivadas parciales, la clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden en derivadas parciales y los problemas de valores iniciales y de contorno asociados a ellas. - Entender la técnica de separación de variables, el papel de los problemas de autovalores resultants, los operadores asociados y el principio de superposición para resolver problemas iniciales y de contorno de las ecuaciones de la Física Matemática. - Entender el método de las características aplicados a distintos casos de ecuaciones en derivadas parciales y su relevancia para el análisis y modelización en distintas areas de la Física Matemática. CAPACIDADES GENERALES (PO a, g, k): - Entender la necesidad de pensamiento abstracto y demostraciones matemáticas formales. - Adquirir habilidades de comunicación en matemáticas. - Adquirir la capacidad de modelar matemáticamente situaciones del mundo real, con la meta de resolver problemas prácticos. - Mejorar las habilidades de resolver problemas.

1. Introducción 1.1 Modelos básicos; campos de direcciones 1.2 Clasficaciones de las ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1 Ecuaciones lineales; factores integrantes 2.2 Ecuaciones separables 2.3 Ecuaciones exactas 3. Ecuaciones lineales de segundo orden 3.1 Definiciones y ejemplos 3.2 Ecuaciones lineales homogéneas 3.3 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 3.4 Ecuaciones inhomogéneas: coeficientes indeterminados 3.5 Variación de las constantes 4. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 4.1 Teoría elemental; ecuaciones de orden superior 4.2 Solución explícita de sistemas lineales no homogéneos 4.3 Sistemas lineales en el plano 5. Sistemas no lineales y estabilidad 5.1 Sistemas no lineales en el plano 5.2 Estabilidad 5.3 Soluciones periódicas 5.4 Dimensiones superiores 6. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: Introducción 6.1 Ejemplos y derivaciónes físicas 6.1 Tipos de ecuaciones y datos; problemas bien y mal planteados 7. Separación de Variables 7.1 Resolución de problemas mediante separación de variables 7.2 Series trigonométricas de Fourier: propiedades básicas 8. Problemas de contorno 8.1 Problemas de Sturm-Liouville 8.2 Operadores autoadjuntos y espectro 8.3 Cociente de Rayleigh 8.4 Series de Fourier generalizadas 8.5 Problemas de Sturm-Liouville multivariables 9. Problemas no homogéneos 9.1 Desplazamiento de datos 9.2 Alternativa de Fredholm 9.3 Desarrollos en autofunciones

Teoría (3 ECTS. PO a,g). Sesiones de problemas de trabajo individual y en grupo (3 ECTS. PO a,g). Se podrán ofrecer tutorías colectivas si el profesor lo considera apropiado.