Álgebra lineal. Cálculo I. Es aconsejable tener unos conocimientos básicos del programa MATLAB.

El estudiante se familiarizará con los algoritmos básicos para resolver los cuatro problemas fundamentales del álgebra lineal numérica (ALN), a saber: (1) la resolución de sistemas lineales, (2) la resolución de problemas de mínimos cuadrados, (3) el cálculo de autovalores y autovectores y (4) el cálculo de la descomposición en valores singulares. Asimismo, incorporará técnicas y herramientas del ALN que pueden serle útil tanto en un futuro desempeño profesional, en ámbitos como el análisis de datos o el reconocimiento de patrones, así como en la investigación en el ámbito de la matemática aplicada y computacional. En concreto, el alumno aprenderá y/o será capaz de manejar: - Los comandos básicos del programa MATLAB en el contexto de los cuatro problemas del ALN mencionados anteriormente. - Los fundamentos básicos del análisis numérico (condicionamiento, estabilidad y complejidad computacional). - El análisis de errores en los métodos numéricos, y en particular de los que aparecen en al ámbito del ALN. - Los rudimentos básicos del sistema de numeración en coma flotante y su aritmética básica. - Las nociones básicas de las normas matriciales (y se hará consciente de su importancia en el cálculo numérico con matrices). - Las herramientas y la teoría que hay detrás de los algoritmos que se emplean actualmente para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tanto para matrices de tamaño pequeño o moderado (métodos directos) como para matrices de gran tamaño (métodos iterativos). Las herramientas y la teoría que hay detrás de los algoritmos que se emplean actualmente para el cálculo de autovalores y autovectores de matrices, tanto para matrices de tamaño pequeño o moderado (métodos directos) como para matrices de gran tamaño (métodos iterativos). - La teoría y las herramientas básicas que hay detrás del cálculo de la descomposición en valores singulares de matrices, así como una aproximación a los algoritmos básicos del cálculo de dicha descomposición. - La teoría y las herramientas básicas de la resolución de problemas de mínimos cuadrados. - Algunas de las aplicaciones de la descomposición en valores singulares en ámbitos tanto teóricos (distancia al conjunto de matrices de menor rango) como aplicados (la compresión de imágenes o el análisis de componentes principales). - Algunas de las aplicaciones del ALN en ámbitos como el análisis de datos o el reconocimiento de imágenes.

1. Fundamentos del análisis numérico. 1.1 Introducción a la aritmética en coma flotante. 1.2 Condicionamiento y estabilidad. 1.3 Coste computacional. 2. Normas vectoriales y matriciales. 2.1Normas vectoriales. 2.1 Normas matriciales inducidas. 2.3 Normas matriciales generales. 2.4 El radio espectral. 3. La forma normal de Schur. 3.1 Matrices unitarias. 3.2 La forma triangular de Schur. 3.3 Algunas aplicaciones. 4. Métodos directos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 4.1 Eliminación gaussiana y la factorización LU. 4.1.1 Eliminación gaussiana y la factorización LU sin pivotaje. 4.1.2 La factorización LU con pivotaje: pivotaje parcial y total. 4.1.3 Análisis de estabilidad de la factorización LU. El factor de crecimiento. 4.2 Matrices simétricas: la factorización de Cholesky. 4.3 La factorización QR. 4.3.1 La factorización QR y el método de Gram-Schmidt. 4.3.2 La factorización QR mediante reflexiones de Householder. 5. Métodos directos para el cálculo de autovalores y autovectores. 5.1 Reducción a Hessenberg y forma tridiagonal. 5.2 El algoritmo QR. 5.2.1 Los métodos de la potencia y la potencia inversa con desplazamiento. 5.2.2 Iteración de subespacios. 5.2.3 El algoritmo QR. 5.2.4 El algoritmo QR en la práctica. 5.2.5 Algoritmos para matrices simétricas. 5.3 Sensibilidad del problema de autovalores. 6. La SVD: cálculo y algunas aplicaciones. 6.1 La SVD: existencia y propiedades básicas. 6.2 Algoritmos para el cálculo de la SVD. 6.3 Aplicaciones de la SVD en problemas de aproximación de rango bajo. 6.3.1 Distancia a la singularidad. 6.3.2 Compresión de imágenes. 6.3.3 Análisis de componentes principales. 6.3.4 Otras aplicaciones. 7. Problemas de mínimos cuadrados. 7.1 Propiedades básicas. 7. 2 Solución de problemas de mínimos cuadrados. La pseudoinversa. 7.3 Ecuaciones normales vs QR para resolver problemas de mínimos cuadrados. 7.4 Resolución de problemas de mínimos cuadrados usando la SVD. 8. Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y calcular autovalores. 8.1 Métodos de Krylov. 8.1.1 Propiedades básicas. 8.1.2 El método del gradiente conjugado. 8.1.3 Otros métodos. 8.2 Los métodos de Lanczos y Arnoldi para el cálculo de autovalores. 9. Otras aplicaciones del álgebra lineal numérica. 9.1 PageRank. 9.2 Completación de matrices. 9.3 Minería de datos.

El curso está concebido como un curso práctico desde el punto de vista computacional. Habrá 14 sesiones magistrales/expositivas y 14 sesiones prácticas que se realizarán, presumiblemente, en el laboratorio y abordarán prácticas con el programa MATLAB. La participación en clase en el desarrollo de estas prácticas será fundamental para alcanzar los objetivos del curso. Se podrán realizar dichas prácticas en grupo, y deberán ser entregadas resueltas antes del final del cuatrimestre. El curso incluye una formación básica en el programa MATLAB, donde se expondrán los comandos básicos y las herramientas elementales de programación. Los estudiantes tendrán a su disposición las notas de la asignatura, con todos los contenidos que se van a trabajar, y que incluyen una serie de ejercicios para que los estudiantes profundicen en los contenidos de la asignatura o resuelvan algunos de los problemas que se dejan abiertos en las notas. Habrá un horario de tutorías semanales acorde con la normativa de la universidad.