Álgebra Lineal, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Programación

Familiarizarse con los conceptos básicos del análisis numérico: algoritmos estabilidad, precisión, y eficiencia. Interpolar datos a través de diferentes técnicas: Lagrange, Hermite, a trozos, splines. Calcular aproximaciones numéricas, escogiendo el algoritmo más adecuado en cada aplicación, a los siguientes problemas: cuadratura y derivación, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, mínimos cuadrados lineales. Programar los algoritmos estudiados en clase y utilizar algoritmos ya programados disponibles por ejemplo en MATLAB y otros paquetes software reconocidos. Relacionar problemas reales y sus modelos matemáticos.

1. Introducción: errores, algoritmos, y estimaciones Fuentes de error, error de redondeo y truncamiento, propagación. Números máquina, aritmética de coma flotante. Polinomios de Taylor y error. Estimación y acotación de errores. Paso óptimo. Aritmética intervalar. 2. Interpolación polinómica: Lagrange, Hermite, a trozos, splines Interpolación de Newton/Lagrange, errores. Nodos equiespaciados o no. Fenómeno de Runge. Interpolación de Hermite. Extrapolación de Richardson. Splines. Splines cúbicos naturales. 3. Cuadratura y derivación numérica Derivación numérica: hacia atrás, adelante, centrada, general, orden superior. Errores. Integración numérica: fórmulas de Newton-Côtes. Errores. Integración adaptativa. 4. Métodos directos para sistemas de ecuaciones lineales Sistemas lineales, estabilidad: número de condición. Sistemas triangulares. Eliminación Gaussiana. Pivotajes. Cálculo de determinantes e inversas de matrices. Condicionamiento. Métodos de ortogonalización y mejoras a los métodos anteriores. 5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales Ecuaciones no lineales: Teorema del valor medio y número de ceros en un intervalo. Bisección, Secante, Newton-Raphson. Iteración simple (punto fijo). Orden de convergencia y análisis de los errores en cada método. Sistemas de ecuaciones no lineales. Métodos acelerados, de Taylor, de interpolación. 6. Problemas lineales de mínimos cuadrados Mínimos cuadrados, ecuaciones normales. Regresión. Ecuaciones normales y método QR. Sistemas sobredeterminados. Aplicaciones.

Uno de los propósitos de este curso es el de proporcionar las bases matemáticas de los métodos numéricos, para analizar y establecer sus propiedades teóricas básicas (estabilidad, precisión, complejidad computacional), y demostrar sus eficacia sobre ejemplos y contraejemplos, evidenciando sus ventajas y desventajas. El objetivo primario es el de desarrollar un pensamiento algorítmico, que enfatice los conceptos computacionales de largo plazo. Cada capítulo se acompaña de ejemplos, pruebas, ejercicios, vídeos y aplicaciones de la teoría presentada. El curso se asienta sobre procesos numéricos robustos para los que se incluyen y tratan los códigos y tests. Los estudiantes deberán escribir sus propios códigos y en última instancia, reescribir los códigos proporcionados por el profesor en Aula Global. Los códigos individuales se deberán ejecutar, testear y subir a Aula Global. Habrá una sesión semanal de clases teóricas, y la otra variará entre sesiones prácticas, en las que estudiaremos cómo resolver distintos problemas, en un aula normal; y sesiones de laboratorio, en las que trabajaremos en la implementación y el uso de los métodos y aplicaciones con un ordenador. Las sesiones de tutoría se podrán utilizar de forma individual o en grupo según deseen los alumnos y habrá al menos 4 horas semanales dedicadas a tal fin en el horario. Se espera de los estudiantes que dediquen alrededor de 98 horas al trabajo personal fuera de clase de cara a esta asignatura.